역함수 · Ⅲ 함수와 그래프

Core · 역함수

입력과 출력을 맞바꾼다

$f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$. 역함수는 $f$ 가 일대일대응일 때만 존재.

$f$ 의 정의역·치역이 역함수에서는 서로 바뀐다. $(f^{-1}\circ f)(x)=x$, $(f\circ f^{-1})(x)=x$.

Method · 구하는 법

1

y = f(x) 로 놓기

2

x에 대해 풀기

$y=2x-1 \Rightarrow x=\dfrac{y+1}{2}$

3

x와 y를 맞바꾸기

$f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2}$

Interactive · 실험실

$f(x)=ax+b$ 의 계수를 끌면 $f$ 와 역함수 $f^{-1}$ 이 직선 $y=x$ 에 대해 대칭임이 보입니다. 재생을 누르면 점 $(p, f(p))$ 가 $y=x$ 를 넘어 $(f(p), p)$ 로 반사됩니다.

f 와 f⁻¹ 은 y = x 에 대해 대칭

Quick Check · 즉문즉답

Q1. $f$ 와 $f^{-1}$ 의 그래프는 어떤 직선에 대해 대칭인가?

Q2. $f(x)=2x-1$ 에서 $f^{-1}(3)$ 의 값은? ($f(?)=3$)

Q3. 역함수가 존재하려면 함수가 무엇이어야 하는가?

Practice · 연습

01★

$f(x)=2x-1$ 의 역함수 $f^{-1}(x)$ 를 구하여라. (예: (x+1)/2)

02★★

$f(x)=2x-1$ 일 때 $f^{-1}(5)$ 의 값을 구하여라. ($2x-1=5$)

$f(x)=ax+b$ 일 때 $f^{-1}(k)$ 의 값을 구하세요.

입력과 출력을 맞바꾸면 역함수.
그래프는 $y=x$ 에 대한 거울상 — 대칭이동과 이어진다.

"The inverse is the mirror image across y = x."